Різниця квадратів: формула, приклади та потужні застосування

Великий квадрат віднімаємо від малого, і раптом перед очима розкривається проста структура: добуток суми та різниці цих величин. Формула різниці квадратів звучить так: a² – b² = (a – b)(a + b). Ця тотожність перетворює громіздкі вирази на елегантні множники, заощаджуючи час і зусилля в алгебрі. Взяти, наприклад, 25 – 16: це (5 – 4)(5 + 4) = 1 × 9 = 9, що миттєво дає відповідь без довгих обчислень.

У школі цю формулу проходять у 7 класі, але її корені сягають тисячоліть, а застосування простягаються від простих задач до складних рівнянь у фізиці. Вона не просто правило — це інструмент, який робить математику живою і доступною. Далі розберемо, як її використовувати крок за кроком, з прикладами для новачків і викликами для тих, хто хоче глибше.

Історія формули: від вавилонських табличок до шкільних зошитів

Стародавні вавилоняни вже тисячі років тому помітили магію цієї тотожності. Вони обчислювали добутки близьких чисел через різницю квадратів, наприклад, 93 × 87 = 90² – 3² = 8100 – 9 = 8091. Глиняні таблички з Месопотамії свідчать про ці хитрощі, що полегшували торгівлю та будівництво без паперу й калькуляторів. Згідно з uk.wikipedia.org, така методика була частиною їхньої повсякденної математики.

У Європі формула набула формального вигляду в XVI столітті з появою алгебри Віду та Кардано, але її суть лишилася незмінною. Сьогодні вона — основа скороченого множення, що входить у програми по всьому світу. Цікаво, як проста ідея пережила тисячоліття, еволюціонуючи від практичних розрахунків до фундаменту сучасної науки.

Доведення формули: алгебра і геометрія в дії

Почнемо з алгебраїчного шляху, бо він найпростіший. Розкриваємо добуток: (a – b)(a + b) = a·a + a·b – b·a – b·b. Оскільки ab = ba, середні члени скорочуються: a² + ab – ab – b² = a² – b². Ось і все — чиста логіка множення.

Геометричний сенс додає візуальної краси. Уявіть великий квадрат зі стороною a, з якого вирізаємо менший квадрат b. Залишок — це L-подібна фігура, площу якої можна перебудувати в прямокутник з сторонами (a – b) і (a + b). Площа такого прямокутника: (a – b)(a + b) = a² – b². Цей трюк демонстрували ще вавилоняни на піску, а Піфагор міг би схвалити зв’язок з площами.

Для просунутих: у векторній алгебрі формула узагальнюється як скалярний добуток: ||a||² – ||b||² = (a + b) · (a – b). Це працює в будь-якому евклідовому просторі, відкриваючи двері до фізики.

Базові приклади: розкладання для початківців

Перед списком прикладів згадайте правило: вираз має бути точно різницею двох квадратів. Якщо бачите x² – 9, одразу думайте (x – 3)(x + 3). Ось типові кроки:

• Перевірте, чи обидва члени — ідеальні квадрати. 16x² — це (4x)², 25 — 5².
• Візьміть корені: для першого — 4x, другого — 5.
• Складіть пару: (4x – 5)(4x + 5).
• Перевірте, розкривши назад.

Після цих кроків практика стає інтуїтивною. Наприклад, 9a⁴ – b² розкладається як (3a² – b)(3a² + b), бо 9a⁴ = (3a²)².

1. (x – 7)(x + 7) = x² – 49. Класика для новачків.
2. (2y + 3)(2y – 3) = 4y² – 9. Тут квадрати змінних і констант.
3. 100 – 36z² = (10 – 6z)(10 + 6z). Навіть з десятковими числами принцип той самий.

Ці приклади показують, як формула спрощує рутину. Тепер перейдімо до складніших, де потрібно вміти бачити приховані квадрати.

Складні розкладання: ітеративне застосування

Часто вирази ховають кілька шарів. Візьміть x⁴ – 16: це (x²)² – 4² = (x² – 4)(x² + 4). А x² – 4 знову різниця: (x – 2)(x + 2). Отже, повний розклад: (x – 2)(x + 2)(x² + 4). Другий фактор не розкладається далі над дійсними числами.

Інший трюк — з дробами чи коренями. Спростіть (√x – √y)² / (√x + √y)², але спершу розпізнайте різницю. Насправді, це обернене: чисельник — квадрат різниці, знаменник — квадрат суми, але формула допомагає раціоналізувати знаменники, як у 1/(√a – √b) = (√a + √b)/(a – b).

Порівняємо формули скороченого множення в таблиці для наочності. Перед таблицею: ці тотожності — родина, де різниця квадратів — найпростіша.

Джерела даних: стандартні підручники алгебри, uk.wikipedia.org. Таблиця підкреслює унікальність різниці квадратів — відсутність змішаних членів.

Розв’язання рівнянь за допомогою різниці квадратів

У рівняннях формула блищить. Розв’яжіть x² – 25 = 0: (x – 5)(x + 5) = 0, корені x=5, x=-5. Швидко й точно. Складніше: x⁴ – 5x² + 4 = 0. Підстановка y = x² дає y² – 5y + 4 = 0, (y – 4)(y – 1) = 0, y=4 або 1, тож x=±2, ±1.

Навіть нерівності: x² – 9 > 0 означає |x| > 3. Для просунутих — тригонометрія: cos(2α) = cos²α – sin²α = різниця квадратів. Це спрощує інтеграли та диференціали.

Практичні обчислення: трюки для голови

Без калькулятора 99² – 1² = (99 – 1)(99 + 1) = 98 × 100 = 9800. Або 52 × 48 = 50² – 2² = 2500 – 4 = 2496. Такі прийоми рятують на іспитах чи в житті — від фінансів до будівництва.

Різниця послідовних квадратів (n+1)² – n² = 2n + 1 пояснює закон Галілея: відстані падіння тіл кратні непарним числам, бо сума перших k непарних — k².

Геометричний та фізичний сенс: площі й рух

Повертаючись до геометрії: різниця площ квадратів на прямокутник — це основа багатьох доказів теорем. У фізиці закон збереження енергії іноді виражається через подібні тотожності, а в оптимізації — через факторізацію.

У програмуванні sympy-функції факторізують поліноми за цією формулою автоматично, полегшуючи символьні обчислення в AI та машинному навчанні.

Поради для майстерності та тренди

Тренд 2026: інтеграція з AI-туторами, як Khan Academy, де формулу вчать через інтерактив. Порада: щодня розкладайте 5 виразів. Для просунутих — вивчайте u-заміну в інтегралах: ∫(x² – 1) dx частково через факторізацію.

Ви не повірите, як ця “шкільна” формула ховається в криптографії Ферма чи квантових обчисленнях, але основа лишається твердою. Практикуйте — і математика засяє новими гранями.

About the Author

Ярослав Стаценко

Administrator

Володимир — контент-менеджер блогу з 5-річним досвідом у створенні захопливого контенту. Експерт у digital-маркетингу, фанат технологій.

Visit Website View All Posts