Таблиця простих чисел: ключ до таємниць математики

Два, три, п’ять, сім — ці скромні цифри ховають у собі силу, яка будує фундамент усієї арифметики. Прості числа, як невидимі атоми числового світу, не діляться ні на що, крім себе й одиниці, і саме вони творять кожне натуральне число через множення. Таблиця простих чисел стає першим кроком для новачків, які хочуть розібратися в основах, і потужним інструментом для просунутих, що занурюються в криптографію чи теорію чисел.

Зміст

Уявіть океан чисел, де прості — це острови, що не зливаються з іншими. Перші двадцять простих чисел уже дають уявлення про їхню розрідженість: після двійки вони всі непарні, а щільність зменшується з ростом. До ста є рівно двадцять п’ять таких “атомів”, а до тисячі — сто шістдесят вісім. Ця таблиця не просто список — вона карта, що веде до глибших відкриттів.

Чому прості числа так заворожують? Бо вони непередбачувані: іноді скупчуються парами-близнюками, як (101, 103), а то розбігаються на тисячі. Розуміння їхньої таблиці відкриває двері до алгоритмів, без яких не було б сучасних комп’ютерів чи захищених платежів.

Що робить число простим: базове визначення з прикладами

Просте число — натуральне більше за одиницю, яке ділиться без остачі тільки на 1 і себе. Двійка стоїть осторонь як єдине парне просте, бо будь-яке інше парне число ділиться на два. Візьміть дев’ятку: 3×3=9, тож складене. А одинадцять? Перевірте ділення на 2,3,5,7 — ніяких дільників, отже, просте.

Для початківців ключ — методична перевірка: для числа n шукайте дільники до √n. Для 97 це до 9.8, тобто 2-7. Жоден не ділить — готово. Цей трюк економить час і стає основою для більших таблиць.

Просунуті читачі знають: прості числа унікальні в розкладанні. Кожне натуральне — добуток простих множників без повторів, за фундаментальною теоремою арифметики. Без цієї властивості математика розсипалася б, як картковий будиночок.

Таблиця перших простих чисел: від 2 до 1000

Ось розгорнута таблиця перших 168 простих чисел до 1000 — ідеальний довідник для щоденного використання. Вона структурована за десятками для зручності, з перевіреними даними з авторитетних джерел. Використовуйте її для вправ чи програмування.

2-97 (перші 25)	101-199	211-313
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97	101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199	211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313
До 100: рівно 25 простих.	21 простих у діапазоні.	18 простих.

Джерела даних: uk.wikipedia.org (Список простих чисел) та oeis.org (послідовність A000040).

Ця таблиця показує закономірність: прості рідшають. Від 2 до 100 — кожне 4-е число, а від 900 до 1000 — лише 16. Для більших меж використовуйте онлайн-калькулятори чи софт, але розуміння структури пришвидшить роботу.

317-499	503-709	719-887
317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499	503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709	719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887

907-997
907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Повна перевірка до 1000 дає 168 простих — точний факт з математичних баз. Тепер, коли таблиця перед очима, перейдімо до того, як її створювати самостійно.

Решето Ератосфена: алгоритм для побудови таблиці

Третя століття до нашої ери, бібліотека Александрії. Ератосфен, астроном і математик, вигадує геніальний спосіб відсіяти складені числа, ніби сито борошно. Почніть з листа чисел від 2 до n. Позначте 2, викреслюйте всі кратні 2. Потім 3 — кратні 3. Наступне непозначене 5 — і так далі до √n.

Створіть список від 2 до, скажімо, 50.
Почніть з 2: викресліть 4,6,8,…,50.
Наступне — 3: 9,12,15,…,48.
5: 25,35,45.
7: 49.
Залишок: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 — перші 15 простих.

Цей метод масштабується до мільйонів: для 10^6 потрібно O(n log log n) операцій — блискавично для комп’ютерів. Сучасні варіанти, як решето Сіві, оптимізують пам’ять. Спробуйте в Python чи Excel — і таблиця готова за секунди.

Але для ручної роботи обмежтеся 100-200: ідеально для школярів чи студентів. Результат надихає: прості числа оживають у ваших руках.

Властивості простих чисел: від Евкліда до сучасних теорем

Євклід у “Початках” довів: простих нескінченно багато. Уявіть найменше число, не кратне жодному простому, — воно ж просте! Цей аргумент, простий як геніальність, стоїть понад дві тисячі років. Сьогодні знаємо: вони всюди, хоч і рідшають.

Теорема про розподіл простих чисел (1896, Адамар і Валле-Пуссен) каже: кількість простих до n, π(n), близька до n / ln(n). Для n=1000: 1000/ln(1000)≈145, реально 168 — близький прогноз. До мільйона π(10^6)=78498, що ідеально пасує формулі.

Парні прості: лише 2.
Близнюки: пари з різницею 2, як (107,109); найдальший відомий — на 10^18 рівні.
Мерсеннові: 2^p-1, де p просте; найбільше відоме — 2^136279841-1 з 41 мільйонами цифр (станом на 2024-2026, uk.wikipedia.org).

Ці властивості не просто факти — вони пульс теорії чисел, де гіпотези Рімана досі не доведені, обіцяючи мільярди доларів за розв’язок.

Цікаві факти про прості числа

Ви не повірите, але прості числа генерують мистецтво: фрактали Мандельброта чи музику Баха, де ноти відповідають простим. Є просте з 24 мільйонами цифр, знайдене школярем! А паліндромні прості, як 10301, читаються навпаки. Статистика вражає: до 10^12 — 37 мільярдів простих, і вони не закінчаться ніколи.

У криптографії прості — щит: RSA шифрує, множачи два гігантські прості. Без таблиць і алгоритмів інтернет стояв би.

Спеціальні види простих чисел: близнюки, Мерсенна, Ферма

Прості-близнюки чарують своєю близькістю: (3,5), (5,7), (11,13), аж до (2996863034895 × 2 − 1, 2996863034895 × 2 + 1). Чи нескінченно їх? Гіпотеза Поллярда тримає в напрузі математиків.

Мерсеннові прості полюють у проєкті GIMPS: комп’ютери мільйонів ентузіастів шукають 2^p-1. Рекордне — надто велике для калькулятора, але воно захищає дані світу. Фермівські: лише п’ять відомих, 65537 — у кожному SSL-сертифікаті.

Софі Жермен: p просте, 2p+1 теж. Вони критичні для еліптичних кривих у крипто. Таблиця таких розширює базову, додаючи шар загадок.

Застосування таблиці простих чисел у житті та технологіях

У програмуванні таблиця — основа для факторізації: розкладіть 315=3×3×5×7. У геймінгу — procedural generation світів. Але король — криптографія: генерувати ключі RSA, де прості по 1024 біти множаться на 2048-бітне число.

Блокчейн: Bitcoin використовує ECDSA з еліптичними кривими над простим полем.
Наука: симуляції фізики, моделі ДНК.
Повсякденність: перевірка паролів, хеш-функції.

Типова помилка новачків — вважати 1 простим, але ні: воно не має двох дільників. Або ігнор √n при перевірці — марна трата часу. З таблицею уникнете цього, і математика засяє новими барвами.

Розподіл простих: прогнози та відкриті таємниці

З теоремою простих чисел π(n)≈n/ln n стає точнішим: для 10^6 — 72382 за формулою, реально 78498. До 10^9 — 50847534. Ці оцінки керують пошуками нових простих.

Гіпотеза Рімана: нульі дзета-функції на критичній прямій — ключ до точного розподілу. Мільйон доларів чекає. А найбільші прості ростуть: GIMPS оновлює рекорди щороку, доводячи нескінченність ресурсів людського генія.

Таблиця простих чисел — не кінець, а початок. Зануртеся глибше: напишіть код, порахуйте близнюків, відчуйте ритм чисел, що пульсують у серці Всесвіту.