Заплутаний математичний вираз наче густий ліс, де кожен крок ховає пастки, але з правильним компасом ви пробираєтеся крізь хаос до простоти. Спрощення – це не просто механічна дія, а справжнє мистецтво, яке перетворює громіздкі формули на елегантні рядки. Воно економить час на іспитах, полегшує розв’язання рівнянь і навіть допомагає в програмуванні, де оптимізований код працює блискавично.
Уявіть: замість довгого ланцюга обчислень ви бачите одне-два чітких члени. Саме це робить спрощення незамінним. А тепер розберемося, як це робити крок за кроком, від шкільних азов до хитрощів для просунутих.
Базові правила: подібні доданки та розкриття дужок
Кожен вираз починається з основ: доданків, які можна звести докупи. Подібні доданки – це родичі з однаковою буквенною частиною, наче близнюки в натовпі. Наприклад, 3x і -2x мають спільний “x”, тож їх легко об’єднати.
Головне правило: скільки б змінних не було, зводьте тільки однакові. 5x + 7y не спростиш, бо x і y – різні світи. А ось 4a + 2a – a = (4+2-1)a = 5a. Просто, правда? Ця магія працює завдяки властивостям додавання.
Перед списком коротке зауваження: спочатку розкрийте дужки, бо вони ховають скарби. Ось ключові кроки для початківців.
- Розкрийте всі дужки за розподільним законом: a(b + c) = ab + ac. Якщо перед дужкою мінус, знаки всередині міняються на протилежні – – (x – 2) = -x + 2.
- Згрупуйте подібні: запишіть поряд 3x + 5x – 2x, а числа окремо.
- Зведіть: (3 + 5 – 2)x = 6x.
- Перевірте порядок дій: спочатку множення/ділення, потім додавання.
Після цих кроків вираз оживає. Візьміть приклад: 2(3x + 4) – (x – 1) = 6x + 8 – x + 1 = 5x + 9. Бачили, як з 8 членів стало 2? Тепер ви готові до складнішого.
Формули скороченого множення: прискорювач спрощення
Ці формули – як шорткати в грі, де замість довгого шляху ви телепортуєтеся. Вони перетворюють квадрати та добутки на готові вирази, заощаджуючи години. Особливо корисні для многочленів другого ступеня.
Ось таблиця з основними – тримайте під рукою, бо вони з’являються скрізь, від геометрії до фізики.
| Формула | Приклад спрощення | Застосування |
|---|---|---|
| (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 | (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 | Квадрати сум |
| (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 | (2y – 1)2 = 4y2 – 4y + 1 | Квадрати різниць |
| a2 – b2 = (a + b)(a – b) | 9x2 – 16 = (3x + 4)(3x – 4) | Різниця квадратів |
| (a + b)(a – b + c) – групування | Розклад для факторізації | Складні многочлени |
Джерела даних: uk.wikipedia.org, miyklas.com.ua.
Використовуйте їх навпаки для розкладання, але для спрощення – прямо. Приклад: спростіть x2 + 6x + 9 – одразу бачите (x + 3)2, бо формула пасує ідеально. З практикою ви впізнаватимете шаблони миттєво, наче мелодію.
Раціональні вирази: дроби під контролем
Раціональні вирази – це дроби, де чисельник і знаменник многочлени, наче дві вежі, що потребують балансу. Спростити їх – значить скоротити спільні множники, ніби стиснути пружину.
Алгоритм простий, але хитрий: розкладіть на множники, шукайте спільне, скоротіть. Якщо знаменники різні – спільний знаменник (НСД). Візьміть: (x2 – 4)/(x – 2) = (x – 2)(x + 2)/(x – 2) = x + 2, за x ≠ 2.
Складніше з сумами: 1/(x + 1) + 2/(x – 1). Спільний знаменник (x + 1)(x – 1), тож [ (x – 1) + 2(x + 1) ] / (x2 – 1) = (3x + 1)/(x2 – 1). Не забувайте домен – де знаменник ≠ 0.
- Розкладіть чисельник і знаменник на множники.
- Скоротіть ідентичні пари.
- При додаванні – НСД знаменників.
- Перевірте: підставте число, наприклад x=3.
Ці вирази трапляються в інтегралах чи економіці, тож опануйте – і світ відкриється ширше. Один раз освоївши, ви уникнете годин марних обчислень.
Вирази з коренями: витягуємо досконалість
Корені додають шарму, ніби таємничі печери з коштовностями всередині. Спростити √(18x2 y) – розкласти на досконалі квадрати: √(9 * 2 x2 y) = 3x √(2y).
Головне – раціоналізувати знаменник: якщо там корінь, помножте на кон’югат. Для √2 / 2 = √2 * √2 / (2 √2) = 2 / (2 √2) ні, правильно: (√a)/b * √a/√a = a/(b √a), але для квадратних – (√a + √b)(√a – √b).
Приклад: 1/(√3 – 1) * (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 – 1) = (√3 + 1)/2. Тепер чисто, без коренів знизу.
Для сум: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. Групуйте подібні! Не забувайте: корені множаться √a * √b = √(ab), діляться аналогічно.
Типові помилки при спрощенні виразів
Хоч би як ви старалися, пастки чатують. Ось найпоширеніші, з реальними прикладами, щоб уникнути їх назавжди.
- Забули змінити знаки при розкритті дужок з мінусом: – (2x + 3) пишуть як -2x – 3, а не -2x + 3? Ні, правильно -2x – 3. Перевірте кожен знак!
- Зводять непохожі доданки: x + y зводять до (1+1)(x+y)? Абсурд. Тільки однакові частини.
- Ігнорують область визначення в раціональних: Скоротили (x-1)/(x-1)=1, забувши x≠1. Рівняння руйнується.
- В коренях не витягують досконалі: √50 лишають, а не 5√2. Завжди шукайте квадрати множників.
- Порядок дій: 2 + 3x пишуть як 5x, забуваючи пріоритет множення.
Ці помилки коштують балів на ЗНО чи в задачах. Практикуйте з перевіркою – підставте x=1, подивіться, чи співпадає.
Просунуті трюки: тригонометрія та комбінації
Для профі вирази з sin, cos – виклик, але з тотожностями вони танцюють. Спростіть sin2α + cos2α = 1, базове. Або (sinα + cosα)2 = 1 + 2sinα cosα.
Використовуйте подвійний кут: cos2α = cos2α – sin2α. Приклад: спростіть cos2α / cosα, якщо можливо. tanα + cotα = sin/cos + cos/sin = (sin2 + cos2)/ (sin cos) = 1/(sin cos) = 2 / sin2α.
Комбінуйте з раціональними: sinα / (1 – cosα) раціоналізуйте множенням на 1 + cosα. Результат: (1 + cosα)/(1 – cos2α) * sinα / sinα, ой, стандартно (1 – cosα)(1 + cosα) = sin2α, тож sinα (1 + cosα) / sin2α = (1 + cosα)/sinα.
Не бійтеся: починайте з відомих тотожностей, замінюйте, скорочуйте. З практикою це стає інтуїтивним, наче розмова з другом.
Практичні поради для щоденного використання
Візьміть складний вираз: 3(2x – 1)2 + 2x(x + 4) – 5x. Спочатку розкрийте: 3(4x2 – 4x + 1) = 12x2 – 12x + 3; 2x2 + 8x; разом 12x2 – 12x + 3 + 2x2 + 8x – 5x = 14x2 – 9x + 3. Пасує!
У програмуванні Python чи Wolfram Alpha перевіряйте simplify(). Але ручне спрощення тренує мозок. Спробуйте щодня по 5 виразів – за місяць станете майстром.
Ось ще один: √(32) + √(72) – √(18) = 4√2 + 6√2 – 3√2 = 7√2. Економія очевидна. Тепер ваша черга експериментувати з власними прикладами.
About the Author
