Уявіть собі свіжу піцу, розрізану на вісім шматків. Ви берете половину її – чотири шматки – і з тих чотирьох відрізаєте три чверті. Скільки залишається? Саме так працюють дроби в множенні: 1/2 × 3/4 = 3/8. Чисельники множаться між собою (1×3=3), знаменники теж (2×4=8). Цей трюк перетворює заплутані частки на зрозумілий результат, і вже в перших кроках ви бачите магію математики.
Така простота ховає за собою потужний інструмент. Дроби – це не просто шкільні символи, а ключ до точних розрахунків у кулінарії, будівництві чи фінансах. Розберемося детально, щоб ви множили їх із закритими очима, уникаючи типових пасток.
Основне правило множення звичайних дробів
Серце множення – формула: для дробів a/b і c/d добуток дорівнює (a×c)/(b×d). Знаменники не вирівнюються, як при додаванні, бо множення описує “частину від частини”. Пиріг на 2/3, з якого беруть 3/5, дає 2/5 від цілого – менше, ніж здається на перший погляд.
Чому це логічно? Думайте про площі. Дріб 3/4 – це прямокутник шириною 3, висотою 1/4 від одиниці. Множачи на 2/5, ви масштабуєте: нова ширина 3×2=6, висота 1/4×1/5=1/20. Площа – 6/20=3/10. Візуально це стискає фігуру, роблячи дріб меншим. Правило діє для будь-яких додатних дробів, якщо знаменники не нульові.
За даними Khan Academy, цей підхід базується на аксіомах поля раціональних чисел, де множення зберігає структуру. Прості слова: чисельники “об’єднуються”, знаменники “розподіляються”.
Покроковий алгоритм множення з прикладами
Перед стрибком у приклади занотуйте алгоритм. Він перетворює хаос на порядок, ніби рецепт ідеального тіста.
- Перевірте знаменники: не нульові? Добре, рушимо далі.
- Помножте чисельники: верхні цифри дають новий верх.
- Помножте знаменники: нижні цифри – новий низ.
- Скоротіть дріб: знайдіть спільні дільники, розділіть.
- Перевірте: неправильний дріб? Перетворіть у мішаний за потреби.
Цей список – ваш щит від помилок. Тепер практика оживає прикладами, де кожен крок розкривається, як квітка під сонцем.
Приклад 1: 2/3 × 4/5. Чисельники 2×4=8, знаменники 3×5=15. Результат 8/15. Неможливо скоротити – готово!
Приклад 2: 3/8 × 10/9. Спочатку 3×10=30, 8×9=72. 30/72 скорочується на 6: 5/12. Бачили, як числа танцюють?
Після списку переходьте до перевірки: додайте до 1, помножте назад – має вийти початкові дроби. Це додає впевненості, ніби подвійна дегустація страви.
Скорочення перед множенням: хитрість, що рятує час
Не чекайте кінця – скорочуйте перехресно одразу! Якщо чисельник першого кратний знаменнику другого, розділіть. Це стискає числа, уникаючи велетенських дробів на кшталт 1000/2000.
Таблиця порівнює підходи. Перший рядок – без скорочення, другий – з ним.
| Приклад | Без скорочення | З перехресним скороченням | Результат |
|---|---|---|---|
| 4/6 × 9/10 | 36/60 = 3/5 | (4÷2)/(6÷2) × 9/10 = 2/3 × 9/10; потім 2×9 / 3×10 = 18/30=3/5 | 3/5 |
| 15/25 × 10/21 | 150/525 = 10/35=2/7 | (15÷5)/25÷5 × (10÷5)/(21÷?)=3/5 × 2/21=6/105=2/35? Чекай, помилка – правильно 15/25=3/5, 10/21 без, але перекр. 15×10/25×21, 15/5=3,25/5=5,10/1=10,21/21=1? Краще факторизувати. | 2/7 |
Таблиця базується на стандартних правилах з ua.onlinemschool.com. З скороченням обчислення легше, числа менші – менше шансів на помилку в множенні.
Множення дробу на ціле число
Ціле число – дріб з знаменником 1. 5 × 2/7 = 10/7. Просто помножте чисельник на 5, знаменник лишається. Уявіть: 2/7 яблука, помножені на 5 садів – 10/7 яблук.
Приклад: 3 × 5/6 = 15/6 = 5/2 = 2 1/2. Школярі люблять це, бо нагадує шкільні яблука. А в реальності? 3 робітники по 5/6 години – 15/6=2.5 години загалом.
Варіації довгих речень додають ритму: не поспішайте скорочувати посередині, але перевіряйте. Коротко: масштабуйте частку!
Мішані числа: перетворення в неправильні дроби
2 1/3 × 1 1/2. Спочатку 7/3 × 3/2. Перехресно: 7/1 × 1/2 (3 скасовується) = 7/2 = 3 1/2. Магія!
Кроки: ціла частина × знаменник + чисельник = неправильний. Для першого: 2×3+1=7, знаменник 3. Другого: 1×2+1=3, знаменник 2. Множте, скорочте, назад у мішаний.
Приклад з життя: рецепт на 2 1/2 склянки борошна, множений на 3/4 порції. 5/2 × 3/4 = 15/8 = 1 7/8 склянки. Економія продуктів!
Від’ємні дроби: гра з знаками
Знаки множаться: (+)×(+)=+, (+)×(-)=-, (- )×(-)=+. -1/2 × 3/4 = -3/8. Два мінуси дають плюс, як у дружбі після сварки.
Приклад: -2/5 × -3/7 = 6/35. Абсолютні значення множаться, знак визначається парністю мінусів. Khan Academy радить малювати знаки окремо.
Ви не повірите, але це ключ до фізики: швидкості в протилежних напрямках множаться з знаками.
Десяткові дроби: швидке перетворення
0.25 = 1/4, 0.6=3/5. Множте як звичайні: 0.2 × 0.5 = 0.1 (1/5 × 1/2=1/10). Або по комах: після крапки цифри множте як цілі, коми ставте сумарно.
Приклад: 1.5 × 0.4. 15/10 × 4/10 = 60/100=0.6. Практично для грошей: 1.5 кг по 0.4 грн/г = 0.6 грн? Ні, масштабуйте.
Типові помилки при множенні дробів
Багато хто плутає множення з додаванням: намагається шукати спільний знаменник. Ні! Це для суми, не добутку. Результат виходить більшим або меншим залежно від значень.
- Не скорочують перехресно: 4/8 × 3/6 = 12/48 замість 1/2 × 1/2=1/4. Числа вибухають!
- Забувають мішані перетворювати: Беруть тільки дробові частини, ігноруючи цілі. Завжди в неправильні!
- Ігнорують знаки: -1/2 × 2/3 лишають додатнім. Мінуси множаться як друзі: парний плюс.
- Скорочують неправильно: Чисельник на знаменник самого дробу, а не перехресно. Тільки спільні дільники!
Ці пастки з наurok.com.ua та подібних ресурсів. Уникайте – і ваші розрахунки сяятимуть точністю. Спробуйте самі: знайдіть помилку в 2/4 × 6/10=12/40? Правильно 1/2 × 3/5=3/10.
Знаючи помилки, ви на крок попереду. Тепер реальне життя кличе прикладами, де дроби оживають.
Практичні приклади з життя
Кухня: рецепт на 3/4 кг цукру для половини тіста. 3/4 × 1/2 = 3/8 кг. Економте солодке!
Будівництво: 2/5 стіни фарбується за день, робота на 3/4 проекту. 2/5 × 3/4 = 6/20=3/10. Скільки днів? Обернено, але множення показує прогрес.
Фінанси: 1/3 зарплати на їжу, з тих 2/5 на фрукти. 1/3 × 2/5 = 2/15 бюджету. Плануйте сміливо!
Спорт: 3/8 дистанції бігом, з неї 4/5 спринтом. 3/8 × 4/5 = 12/40=3/10. Аналізуйте тренування.
Ці кейси роблять математику близькою, ніби розмова за чаєм. Варіюйте: уявіть свій сценарій.
Вправи для практики
Закріпіть навички. Почніть просто, переходьте до складного. Рішення в голові або на папері.
- Вулиця: 5/6 × 2/3.
- Зі скороченням: 12/18 × 15/20.
- Мішане: 1 2/5 × 3/4.
- Від’ємне: -3/4 × 2/5.
- Десяткове: 0.6 × 0.25.
Правильні: 10/18=5/9; (2/3)×(3/4)=1/2; (7/5)×3/4=21/20=1 1/20; -6/20=-3/10; 0.15. Повторюйте – і дроби стануть друзями. Експериментуйте з більшими, додавайте знаки для виклику. Математика пульсує життям!
About the Author
